문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

www.acmicpc.net/problem/10971

  • 입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

  • 출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

최종코드

이것도 무슨 유명한 문제라는데 나만 몰라요?..

처음 해보는 dfs 완전탐색 문제였다. 아직 dfs, bfs를 자유자재로 구현하기가 어렵다ㅠㅠ. 어떤 조건에서 탐색을 계속하고 중단해야할지 판단하는 게 어렵다. 특히 보통 재귀적으로 구현하는 dfs에 취약하다. 더 열심히 공부해야겠다.

어쨌든 하라는대로 구현했는데 틀려서 dfs 함수에서 res = min(res, value + w[next][start])를 실행하기 위한 조건을 추가했다.

if w[next][start] > 0 이 조건이 없다면 next에서 start로 가는 다리가 없는 경우를 고려할 수 없다.

import sys

def dfs(start, next, value):
    global n, visit, res

    # 전부 방문했다면 return
    if all(visit):
        # next에서 start로 가는 다리가 있다면 res 업데이트
        if w[next][start] > 0:
            res = min(res, value + w[next][start])
        return

    for i in range(n):
        # node i를 방문하지 않았고, 시작노드가 아니며, i로 가는 길이 있는 경우 dfs를 계속한다
        if visit[i] == False and i != start and w[next][i] != 0:
            visit[i] = True
            dfs(start, i, value + w[next][i])
            visit[i] = False

n = int(sys.stdin.readline())
w = [list(map(int, sys.stdin.readline().split())) for _ in range(n)]
visit = [False]*n
res = sys.maxsize

for i in range(n):
    visit[i] = True
    dfs(i, i, 0)
    visit[i] = False

print(res)

하지만!? pypy3에서는 돌아가지만 python3에서는 돌아가지 않았다.

Enhanced

어떻게 시간을 더 줄일 수 있나 알아보니 dfs 함수에 if value < res 조건문을 추가해서 현재 res 값보다 value 값이 큰 경우 dfs를 수행하지 않도록 만들어서 가지치기를 해주었다. 이렇게 하니까 python3에서도 통과했다.

import sys

def dfs(start, next, value):
    global n, visit, res

    # 현재 value가 res보다 크거나 같으면 dfs를 종료해서 탐색의 범위를 줄인다
    if value < res:
        # 전부 방문했다면 return
        if all(visit):
            # next에서 start로 가는 다리가 있다면 res 업데이트
            if w[next][start] > 0:
                res = min(res, value + w[next][start])
            return

        for i in range(n):
            # node i를 방문하지 않았고, 시작노드가 아니며, i로 가는 길이 있는 경우 dfs를 계속한다
            if visit[i] == False and i != start and w[next][i] != 0:
                visit[i] = True
                dfs(start, i, value + w[next][i])
                visit[i] = False

n = int(sys.stdin.readline())
w = [list(map(int, sys.stdin.readline().split())) for _ in range(n)]
visit = [False]*n
res = sys.maxsize

for i in range(n):
    visit[i] = True
    dfs(i, i, 0)
    visit[i] = False

print(res)

추가적으로 비트연산을 이용해서 구현하는 방법도 있던데 너무 복잡해서 굳이 따라 구현해보지는 않았다. 하지만 나중을 위해서 참고 사이트는 적어놓았다.

참고 사이트